第一节：集合的概念确定研究对象、明确研究范围一般的，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（Set）（简称为集）集合元素具有确定性（可以确定的）、互异性（互不相同）、无序性

（位置不限）集合元素的表示我们用大写字母ABC表示集合，小写字母abc表示元素.如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）集合A，记作a ∈ A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）集合A，记作a ∉ A.

常见数集全体非负整数组成的集合称为非负整数集合（或自然数集），记作N；全体正数称为正整数集，记作N+以上两个集合区别在于，正整数集没有0，非负整数集有0.集合论集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的，当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念.

集合论收到很多数学家、哲学家的赞誉，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫做列举法.例题（1）大于1且小于6的整数；{2,3,4,5}

（2）方程x²-9=0所有实数根组成的集合.{3，-3}追问：0与{0}的数学含义相同吗？0代表一个数字；{0}代表集合中有一个元素0.两者可以属于表达，元素与集合的关系是属于∈ 、不属于 ∉描述法当集合元素中有无数元素，如何表达？

两边一个花括号，竖线前边是研究对象和研究范围，竖线后边是共同特征，这样的表示是描述法：{x ∈ A|P（x）}整数集Z可以分为奇数集和偶数集，我们如何用描述法表示奇数集奇数集可以表示为{x ∈ Z|x=2k+1，（k ∈ Z）}的形式

当x除2的余数为1，那么它是一个奇函数，反之亦可；偶数集可以表示为{x ∈ Z|x=2k，（k ∈ Z）}的形式第二节：集合间的基本关系当表示一个集合的时候，我们可以使用列举法和描述法列举法比直观，但是往往无法揭示集合的本质特征；

我们知道两个实数之间有相等关系，大小关系等等，那么集合是不是也有这种关系呢？概念一般地，对于两个集合A，B，如果A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集（subset），记作A ⊆ B（或B ⊇ A），读作A包含于B（或B包含A）。

不仅如此，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图以上包含关系只针对于集合在定义了两个集合相等的关系后，我们看一下例子A ⊆ B，4 ∈ B，4 ∉ A，我们把这样的集合关系作如下定义。

如果集合A ⊆ B，但存在元素x ∈ B，且x⫋A，就称集合A是集合B的真子集（proper subset），记作A⫋B通过以上的真子集概念学习，我们可以发现集合包含的元素决定了集合间的关系，那么请大家思考：如果一个集合不包含任何元素，如何定义呢？。

例如，方程x²+1=0，这个方程是没有实数根的，所以这个方程组成的集合不包含任何元素，也就是空集（empty set），书写为∅，并且我们规定：空集是任何集合的子集在这里我们举个小例子，大家思考一下：0，{0}与。

∅三者之间的区别